Tajno Značenje Brojeva

   Da li smo u pravu? Prema tradiciji, na vratima Platonove akademije u Atini stajao je natpis: 'Neka ne ulazi ko nije matematičar'. Platon je iznad svega cenio obrazovanje u čistoj matematici, želeći da je uče svi koji bi hteli da postanu državnici.

 Govorio je: 'Bog je svet uredio geometrijski'. Ali, praktični matematičari bili su nešto drugo. Platon ej prezirao takve svakidašnje stvari kao što su brojanje u trgovini i primena geometrije za merenje zemljišta.
   To su bila degradirajuća zanimanja, jer pravi filosof treba da se bavi samo čistim brojevima i razmišljanjem o njihovim odnosima, i na taj način usmerava svoju dušu ka uzvišenijim mislima. Međutim, mada su brojevi kojima su bile merene vidljive i opipljive stvari bile anatema za njega i zaudarali na pijacu (gde su, mora se priznati, bila nužnost), matematika je svoje korene imala u trgovini i zemljomerstvu. Ma koliko da su filosofi uživali u vežbama koje su im pružali brojevi i oblici, oni su nastali zbog čovekove potrebe da broji, numeriše, razdvaja i deli. Ukratko, bili su neophodni za administratore, skupljače poreza, trgovce, graditelje, odnosno za sve praktične ljude, bez kojih bi filosof umro od gladi, ostao bez krova nad glavom, neodeven i nezbrinut.

    Počeci brojanja gube se u magli praistorije, ali su istraživanja pokazala da su već Sumeri još u trećem veku pre naše ere razvili matematiku do najvišeg nivoa, a da su oni koji su došli posle njih samo nastavili njihovim pravcem. Svakako, mnogo toga što su oni radili bilo je iz neposredno praktičnih razloga, ali izgleda da su se delimično bavili matematikom iz čiste ljubavi prema njoj i bez potrebe da je praktično primene. Kako to može da se opiše?
    Većina ljudi se ne snalazi u jednačinama i kao da svoju inteligenciju izbaci kroz prozor čim se niz brojeva pojavi na stranici. Ovo može biti posledica loše nastave, ili jednostavno neki ljudi nisu talentovani za matematiku. Ali pošto nas uglavnom zanimaju brojevi i geometrijski oblici, problem ne bi trebalo da bude previše težak: svako ume da broji i da pravi razliku između kruga i kvadrata.
    Jedno je brojati naglas, a drugo imati metod za zapisivanje rezultata. Mali brojevi - jedan, dva, tri ili četiri - ne predstavljaju nikakve teškoće, da se oni predstave dovoljno je nekoliko tačkica ili crtica. Ali, čim krenemo dalje, broj znakova postaje toliko veliki da se broj ne može prepoznati na prvi pogled, već čovek mora da počne da broji znakove ispočetka.
    Vavilonci i Sumeri dobro su shvatili ovu činjenicu. U svom klinastom pismu oni su koristili jedan 'klin' za broj jedan, dva klina za dva, tri za tri, a zatim su počeli ponovo da pišu klinove, tako da se, na primer, broj devet sastojao od tri niza po tri klina. To je značilo da je svako mogao na prvi pogled da vidi o kom broju se radi. Desetka je bila drugačija: sastojala se od dva klina, jedan iznad drugog, pa se tako razlikovala. Dvadeset su bile dve desetke, trideset - tri desetke, i tako dalje do pedeset. Posle toga bilo ih je previše i 'zbunjivalo' je oči. Ali oni nisu ni imali potrebu da broje više od pedeset. Kako su, ipak, mogli to da rade, a da se brojevi mogu prepoznati?
    Odgovor Sumera bio je jednostavan, ali briljantan i od dubokog značaja za njihovu aritmetiku i sav kasniji matematički rad. Oni su usvojili notaciju sa decimalnim mestima, uzimajući za osnovu broj šesdeset. Ovo zvuči pomalo komplikovano, ali je to upravo ono što i mi radimo, samo što za osnovu koristimo broj deset umesto šesdeset. Vaviloci su kod šesedesetice pomerali brojeve za jedno mesto ulevo, pa zatim za još jedno kod 60 x 60 ili 3.600, pa opet kod 60 x 60 x 60 (21.600), i tako dalje.

    Ali pošto nam ovaj seksadecimalni metod nije blizak, da bismo shvatili vavilonski sistem pomoći će nam primer našeg sopstvenog decimalnog sistema. Mi imamo pojedinačne simbole 1, 2, 3 i tako dalje do 9. Kad dođemo do deset, ponovo pišemo broj 1, ali ga pomeramo za jedno mesto ulevo. Da bismo pokazali da se zaista pomerio ulevo, iza njega pišemo nulu, i tako dobijamo 10. Zatim nastavljamo, baš kao i Vavilonci: jedanaest je 11, dvanaest je 12, itd. A kada dođemo do 10 x 10 opet pomeramo za jedno mesto ulevo, plus dve nule: 100. Za pokazivanje položaja Vavilonci su takođe koristili nulu, samo što njihova nije bila krug, jer bi to bilo teško na klinastom pismu. Umesto toga, imali su znak sličan grčkom slovu sigma.

    Ovakva notacija sa pomeranjem mesta vrednosti bila je od ardinalnog značaja jer je omogućila matematičarima da barataju sa brojevima i da prave tablice sa brojevima, tako da se na prvi pogled može videti odnos između jednog broja i drugog.
    Egipćani nisu imali takav sistem za pisanje brojeva, niti znak za nulu. Što je još čudnije, nisu ni Grci ni Rimljani. Biće nam jasno kako je to teško i glomazno ako koristimo rimske brojeve i pokušamo da oduzmemo CXCII od CCCCVI. To nije ni blizu tako lako kao kad koristimo takozvane arapske brojeve, kad pišemo 406-192 i odmah dobijemo odgovor 214. Uopšte nije važno kakvu osnovu koristimo - deset, šesdeset, ili neki drugi broj - princip je isti i lakoća dolazi sa praksom. Da smo odgajani da brojimo u šesdeseticama umesto deseticama, to bi nam bilo isto toliko lako. Na kraju krajeva, to i činimo bez ikakvih problema kad računamo vreme i kad kažemoda šesdeset sekundi čini jedan minut, a šesdeset minuta jedan sat.
    U ovom smislu mi smo više naslednici Sumera nego Grka i Rimljana. Ipak ovaj sjajni izum Sumera/Vavilonaca bio je izgubljen za Zapad i ponovo je otkriven tek za vreme renesanse, kada smo za taj sistem saznali od muslimanskog sveta. Zato se brojevi koje mi danas pišemo i zovu arapski. U stvari, da bismo bili fer, moramo priznati da su ih muslimani naučili od Indusa, koji su ih izgleda razvili, kao i sistem mesta i nulu, verovatno još 200. godine pre naše ere. To je znatno kasnije od Vavilonaca, a naučnici su podeljeni oko toga da li je indijski sistem izvoran, ili je uvezen sa strane - možda čak od Vavilonaca.
    Vavilonci su takođe imali i začetak onoga što je kasnije nazvano algebra - opet arapska reč, jer je Zapad za nju saznao od muslimana. Ovde oni nisu pisali kao što mi to radimo, koristeći x (iks) i druga slova iz azbuke umesto brojeva, ali su radili jednačine i to na veoma neinhibiran način. Da bismo videli kako su razvijali svoje ideje, setite se šta sve možemo da radimo sa x i koliko matematičari uživaju da ga koriste.
    Upotreba x (iksa) - ili njegovog vavilonskog ekvivalenta - ne ograničava nas na bilo koji posebni broj, što je imalo značajne posledice. Jer Vavilonci su tretirali x i x²  kao da su matematički entiteti, pa su tako mogli da rade jednačine sa x i x² (kvadratne jednačine) i jednačine sa x, x² i x³ (kobne jednačine). To im je omogućavalo da matematički rešavaju sve vrste problema na načine koji nisu bili poznati srednjevekovnom Zapadu gde se mislilo da je nemoguće imati jednačine sa x² i x, pošto je x² površina, a x dužina. Time što su se odvojili od čisto praktične matematike i razmišljali o stvarima na apstraktnom planu, Vavilonci nisu morali da ograničavaju svoju imaginaciju. Oni su koristili čak i x⁴ kad im je to odgovaralo, mada nisu mogli da zamisle šta bi to uopšte moglo da znači.
    Štaviše, Vavilonci se nisu tu zaustavili. Oni su koristili pojam negativnih brojeva, što je još jedan primer da nisu bili sputani potrebom da sebi u glavi slikovito predstave ono što rade matematički. Nije ni čudo onda šti su kada je trebalo da primene svoju matematiku bili u stanju da izmisle nešto kao cik-cak brojeve da bi opisali položaj planeta, a da pri tom nisu morali da se vezuju ni za kakvu određenu teoriju o planetarnom kretanju. Na žalost, Grci nisu nastavili ovu algebarsku tradiciju. Oni su imali genije za geometriju i mada su tu ostvarili velike rezultate, nedostatak algebre je sprečio da razviju celu jednu stranu čiste matematike. Upravo ova sklonost ka geometriji je nasleđe Zapada, koje se zadržalo sve do 17. veka, i to uprkos tome što su im Arapi uveli algebru u 12. veku.

    Pored čisto teoretskih vežbi, Vavilonci su prirodno primenjivali matematiku u svakodnevnom životu, i tu su opet stvorili korisne i nove stvari. Izumeli su, na primer, tablice koje su praktičnom čoveku omogućavale da reši problem sa površinom bašte, bez potrebe da imaju duboku teorijsku osnovu, a savladali su, veoma inteligentno, i metod za direktno izračunavanje složenih kamata na zajmove, što baš nije uvek najlakši posao. U međuvremenu, preko puta njih na Zapadu, u Egiptu, praktična strana aritmetike i geometrije bila je jedina oblast razvijena iz matematike. Nije bilo pokušaja da se napravi osnovna logička disciplina, kao što su to radili Vavilonci. Naravno, i Egipćani su razradili neke izvanredne praktične matematičke veštine, posebno kada se radilo o geometriji čvrstih tela - jer ih je na to prinudilo građenje spomenika, kao što su piramide.
    U izgradnji piramida, nagibi strana zavise od ukupne visine i širine osnove. Ali nijedna piramida nije izgrađena sa glatko nagnutim stranama, to nije bilo praktično. Umesto toga, cela struktura je morala da se napravi od kamenih blokova koji su davali stepenasti izgled. Tek kada je to bilo urađeno mogle su se praznine - stepenice - popuniti i zagipsati. Kad pogledamo osnove i visine piramida koje su izgrađene, i uzmemo u obzir činjenicu da je najpre konstruisan stepenasti kameni temelj, postaje jasno da je postojao samo jedan način da se temelji ispravno polože pre nego što se počnu radovi: da se izmere dimenzije tako što će se odrediti odnos između prečnika kruga i njegovog obima, odnos koji obuhvata količinu koju mi zovemo 'pi'. Ova nije baš toliko tajanstveno koliko izgleda, jer ako krug, recimo, ima prečnik tri metra, onda je njegov obim 3 puta 'pi'. Ovo što ovde predstavlja problem je samo 'pi', jer ono nije prost broj, već ono što matematičari sa uživanjem zovu transcendentalni broj - on nema tačnu vrednost već je jednak 3,1415... Drugim rečima, on nije ceo broj već jedan beskrajan niz neponavljajućih decimala, te tako prevazilazi moć našeg brojčanog sistema da ga precizno izrazi.

    Međutim, ipak se moramo obratiti Grcima za neke od najrazvijenijih oblika matematike u antičko doba. Najveći deo onoga što su oni radili došao je direktno do nas, ali to ni u kom slučaju nije bilo sve. Njihovi metodi dedukcije i dokaza stigli su u neprekinutom nizu, uobličeni u grčku geometriju koju je izložio Euklid, možda najslavniji od svih matematičara. Ipak, ono što nas ovde interesuje je materijal koji je neko vreme bio isčezao, materijal koji je bio izgubljen i stigao tek u 12. veku ili kasnije. Između ostalog, tu spadaju i neki Arhimedovi radovi.
    Arhimed je rođen u Sirakuzi oko 287. godine pre naše ere gde je živeo i radio sve do 212. godine pre naše ere. Onda su Rimljani pod Marcelusom došli u opsadu grada, i priča se da ih je u tome ometao Arhimed svojom inventivnošću u pronalaženju mašina za njegovu odbranu, naročito katapulta i konkavnih ogledala za reflektovanje i koncentrisanje sunčevih zraka koji su zapaljivali neprijateljske brodove. Arhimed je ubijen za vreme opsade, kako se priča, dok je posmatrao neke geometrijske figure koje je nacrtao na zemlji. Kada se iznenada pojavio jedan rimski vojnik, Arhimed je viknuo na njega: 'Nedirajte moj krugove!', na šta šta ga je ovaj rimski vojnik odmah ubio.
    Što se tiče samog Arhimeda, filosof i biograf Plutarh tvrdi da je, mada su mu njegovi pronalasci doneli ogromnu popularnost, Arhimed celu tu mehaniku smatrao prljavom i ništa boljom od bilo koje druge veštine koja ima za cilj korist i profit. Njegov pravi interes ležao je u temama koje nisu bile uprljane praktičnom korisnošću. Šta god mi mislili o tome, ovo je bio tipično grčki stav, pa ipak je ironično da Arhimeda upravo pamtimo po njegovim pronalascima, mahanici i hidrostatici. Arhimedov zavrtanj za podizanje vode bio je opšte prisutan u mediteranskim zemljama, i još uvek se može naći tamo gde nije prodrla moderna tehnologija.
    Arhimedovo rešenje problema zlatne krune kralja Hijerona, koje je imalo utilitarni cilj, postalo je nerazdvojno vezano za ovog filosofa. Vredno je navesti ovaj primer, jer on pokazuje način na koji je njegov um funkcionisao. Naime, Hijeron II, kralj Sirakuze, rođak i prijatelj Arhimedov, posumnjao je da je zlatna kruna koju je bio naručio, pomešana sa srebrom. Želeo je da zna da li je to istina i kolika je količina srebra u pitanju? Kaže se da je Arhimed rešio problem dok je bio u kadi, kada je odjednom postao svestan činjenicew da je njegovo telo postalo lakše u vodi, pa je skočio iz kade vičući: 'Eureka, eureka!' - Pronašao sam!
    U svakom slučaju, Arhimed je otkrio ne samo odgovor na pitanje kralja Hijerona, već i osnovni princip hidrostatičkog merenja težine: telo se najpre izmeri na vagi na normalan način, pa se zatim potopi u vodi i opet izmeri. Razlika daje meru težine tela u poređenju sa težinom vode koju je potisnulo. Zlatna kruna bi pokazala veću razliku nego srebro ili amalgam zlata i srebra, jer je zlato, po zapremini teže od srebra. Tako je Arhimed otkrio da može da odredi čistoću krune, a da pri tome ne mora da je rastopi.
    Njegov rad na mehanici takođe nije bio samo praktičan. Postavio je teorijske principe i tako položio temelje za kasnije generacije. On je detaljno izložio razloge za moć poluge, kao što se vidi iz njegovog legendarnog hvalisanja kralju Hijeronu: 'Dajte mi čvrsti oslonac i ja ću polugom pomeriti celu planetu!'
    Međutim, nisu svi  Arhimedovi radovi o mehanici došli do Zapada. njegov traktat o osnovnim metodama za tretiranje mehaničkih problema geometrijski, koji je posvećen Eratostenu, prispeo je u Vizantiju (Istanbul) u obliku kopije na pergamentu, ali je kasnije izbrisan, jer je preko njega, kada je cena pergamentu naglo skočila, napisano nešto drugo. Traktak je ponovo ugledao svetlo dana tek 1906. godine kada je otkriven ispod opisa nekog religioznog rituala. Takođe, Arhimedov traktat o pravilnom heptagonu (sedmougao čije su sve stranice iste dužine), prvobitno napisan na grčkom, bio je izgubljen, pa je čak i njegov arapski prevod bio nepoznat sve dok nije otkriven i objavljen u Kairu 1926. godine.
    U celini, Arhimedovi matematički tekstovi nisu bili popularni, a izgleda da se on nije mnogo ni trudio da sačuva rukopise o njima, kao što je bio slučaj sa delima Aristotela ili Euklida (slika desno dole). To je utoliko više šteta jer je Arhimed bio vrlo blizu nekih modernih tehnika. Na primer, utrošio je mnogo vremena i misli na veoma težak problem pronalaženja površine okružene svim vrstama zakrivljenih oblika na ravnoj površini, i još teže probleme izračunavanja zapremine lopte, delova lopte i drugih mnogo složenijih čvrstih tela. Način na koji je on prilazio ovim problemima, jer ih je obrađivao pojedinačno, bio je da podeli svaki oblik ili čvrsto telo na ogroman broj manjih komada, pronađe površinu ili zapreminu svakog, a zatim da ih sabere: tehnika koja je bila koliko revolucionarna toliko i suštinski jednostavna.

    Ali to je u osnovi tehnika koju danas koriste matematičari za rešavanje istih problema, samo što oni koriste pogodnije metode algebre umesto golog brojanja, i taj proces zovu integracija. Na žalost, ovaj proizvod čoveka koji je bio ništa manje nego matematički genije, ostao je potpuno nepozbat na Zapadu i značaj njegovog ostvarenja bio je neshvaćen čak i u postaleksandrijskom svetu koji je imao sklonost za geometriju. Prednosti ovog metoda integracije putem sabiranja malih površina nisu bile tu da pomognu matematici da se razvije koliko bi mogla, pa je ona ostala okoštana nekih osam vekova.
    Jedan drugi matematički metod koji je mogao da izvrši snažan stvaralački uticaj, ali nije, izmislio je Arhimedov mlađi savremenik, Apolonios (slika levo dole). On je rođen u Pergu (jugoistočna Turska), radio je u Aleksandriji i kasnije u Pergamumu (zapadna Turska), a pisao je gotovo koliko i Arhimed. Međutim, za razliku od Arhimeda, Apolonios je poznat pre svega po jednoj knjizi, Konika, koja obrađuje, kao što i samo ime nagoveštava, kupe i sve krive koje se mogu načiniti pravljenjempreseka kroz njih. Ove krive obuhvataju sve od kruga i elipse do parabole i hiperbole. To nije bilo prvo delo o toj temi, ali je daleko najpotpunije, i bilo je podeljeno u osam odeljaka. Nisu svi sačuvani, ali su pva četiri došla do nas na originalnom grčkom, dok sledeća tri postoje samo u arapskom prevodu. Poslednji odeljak nikada nije pronađen u bilo kom obliku, mada je u 18. veku Edmond Halej uspeo da rekonstruiše jednu njegovu verziju, baziranu na prethodnim odeljcima i komentarima matematičara Paposa iz trećeg veka, koji je posedovao ceo grčki tekst.
    Iznenađuje da pun značaj Konike nije bio shvaćen dugo vremena posle trećeg veka, niti su ijednu njenu revolucionarnu ideju razvili matematičari 17. veka. Specifično, knjiga pet tretira probleme koji se otada nazivaju 'maksime i minime', u ovom slučaju diskusije o najdužim i najkraćim razdobljima od date tačke do različitih delova krive. Matematički je ovo bilo veoma interesantno, i pošto je to tip problema koji idealno odgovara tehnici kalkulusa koju su razvili Njutn i Lajbnic u 17. veku, Apoloniosa su ponekad nazivali njihovim pretečom ili čak i izvornim izumiteljem. Ali to je preterivanje. Apolonios nije izumeo kalkulus u trećem veku pre naše ere. Ipak, da je njegov geometrijski rad o maksimama i minimama bio potpuno shvaćen, i da je nastavljen dalje, onda bi verovatno bar neki geometrijski oblik kalkulusa bio pronađen, umesto praznine od sskoro dva milenijuma.
    Mada se grčki matematički genije uglavnom iskazivao u geometriji, postojalo je i interesovanje za brojeve sa čisto filosofske tačke gledišta. Tu nam odmah pada na pamet Pitagora, jer je on brojeve povezivao sa oblicima, i time stvorio ono što sada zovemo odnosima nizova, i smatrao brojeve kao važan aspekt harmonije vasione. Kao pratnju za ovu njegovu božansku harmoniju on je proučavao odnose između dužine žica koje vibriraju i različitih muzičkih tonova koje su one proizvodile. Ova proučavanja urodila su plodom u rukama Aristoksenosa tri veka kasnije.
    Aristoksenos (slika levo) je rođen u Tarentumu, negde između 375. i 360. godine pre naše ere. Bio je učenik jednog od Pitagorinih sledbenika, a takođe i Aristotela. On nam je uglavnom poznat po svojim Elementima harmonije, koji sadrže dosta originalnog rada o muzičkim intervalima. Ovo je od znatnog interesa u svetlu muzike današnjeg doba, jer Aristoksenos nije samo istraživao intervale tona i polutona, već je išao čak do mikrotonova. Matematički, on je morao da izračuna sve ove intervale i njihove odnose, i ono što je značajno jeste da je on to učinio pomoću tehnike sabiranja rezultata, koja je identična sa našom modernom metodom logaritama. Drugim rečima, Aristoksenos je bio u stanju da sebe poštedi mučnog i dosadnog množenja pomoću procesa sabiranja. Logaritmi su otkriveni na Zapadu početkom 17. veka, ali da je Aristoksenosova knjiga bila korišćena  za muzičke tekstove u zapadnom hrišćanstvu, verovatno bi bili pronađeni još mnogo ranije. Međutim, Zapad je učio muziku na osnovu Boetijevog latinskog teksta iz šestog veka, baziranog direktno na Pitagori. Aristoksenosove ideje prihvatili su istočni hrišćani sa sedištem u Vizantiji, tako da su oni praktično bili izgubljeni za zapadnu kulturu.

    Kad uzmemo u obzir ljubav Grka prema geometriji i Platonove negativne stavove o primenjenoj nauci, čovek bi pomisli da Grci nikad nisu bili zaiteresovani za mehaničke uređaje za računanje. Ali pažljivo proučavanje dokaznog materijala, ma koliko razbacanog i nepotpunog, pokazuje da ovo staro stanovište, na kraju krajeva, možda i nije tačno. Naravno, naučnici su oduvek znali da je abakus (slika levo) bio u širokoj upotrebi za brzo računanje - u formi kantara on je još uvek u svakodnevnoj upotrebi u mnogim istočnim zemljama, mada se u anrici ponekad sastojao samo od daske pokrivene suvom zemljom, koja se obeležavala promenljivim tačkicama dok se izračunavanje odvijalo, ili od tablice sa linijama po kojima su se brojači pomerali. Međutim, 1900. godine pronađeni su novi važni dokazi. Grčki ronioci, lovci na sunđere, koji su bili ukotvljeni pored ostrva Antikitere, južno od Peloponeza, za vreme jedne oluje ugledali su staru olupinu. Otišli su da je istraže i ono što su našli bilo je dovoljno da dovede arheologe na scenu.
    Posle pažljivog ispitivanja, bilo je jasno da je to morao biti trgovački brod, koji je potonuo oko 65. godine pre naše ere dok je bio na putu za Rim iz Rodosa ili Kosa. Tovar se sastojao uglavnom od komada skulptura, ali među stvarima koje su pronađene bilo je i nešto sasvim drugačije, uređaj od bronzanih ploča sa komplikovanim zupčanicima i ugraviranim vagama. Kasnija proučavanja pokazala su da je uređaj bio namenjen da prikazuje položaje Sunca i Meseca, a verovatno i planeta. Ovo možda i ne bi bilo posebno značajno da je to bio model nebeskih tela koja pokreće lanac sa zupčanicima, neka vrsta nebeskog mehaničkog časovnika. Bio je to instrument koji je davao položaje nebeskih tela u brojevima - imao je kazaljke koje su se pokretale preko brojčanika i pokazivale rezultate njegovih internih proračuna.
    U stvari, to je bila neka vrsta mehaničke verzije koja je prikazivala nešto slično vavilonskim cik-cak pozicionim brojevima. Ukratko, to je bio mehanički kompjuter, i to složen kompjuter tog vremena. Interni dokazi takođe pokazuju da je to bila savremena mašina koja je specifično napravljena za svakodnevnu upotrebu, a ne neko blago iz prohujalih vremena. Možemo da zaključimo da ona čini čast tradiciji visoko napredne tehnologije u Grčkoj, tehnologiji koju filosof Platon nije nikada pomenuo, jer su njegova interesovanja bila teorijska, a ne praktična, ali da je ona ipak postojala, iako je bila izgubljena.
   Možda ceo koncept paralelne tehnološke kulture ne izgleda tako neverovatan, kad uzmemo u obzir da su Rimljani, kao i Egipćani, bili veoma praktični i da su upotrebljavali razne mehaničke uređaje. Oni su imali snažne dizalice, efikasne pumpe, veliku gomilu vojne mašinerije i, na osnovu onoga što je o njima rekao Markus Vitrivius, arhitekt i pisac iz prvog veka, talenat za proizvođenje korisnih uređaja. Na primer, razdaljine su često merene korišćenjem hodometra. Ovaj uređaj imao je točak koji se okretao po tlu i niz unutrašnjih zupčanika koji su na kraju okretali perforirani disk koji je u redovnim intervalima izbacivao male komadiće šljunka u jednu posudu. oni su prebrojavani na kraju putovanja da bi se odredila udaljenost.
    Na kraju možemo da kažemo da: ako je i postojala tradicija napredne tehnologije u drevnom svetu, ona nije prodrla u zapadnu civilizaciju.

Klik Molitva Dana

Klik Vic Dana

Klik Otkačeni Svet

Klik Vesti - Balkan

Klik Super Smeh

Klik Vesti - Svet

Klik Vesti - Sport

Drugi Ovo Gledaju

Klik Vesti - Hronika

Klik Vesti - Evropa

Klik Mali Oglasi

Klik Bioritam Za Vas

¦ Klik Gore na Sliku - Prikaz; ¦ Ponovni Klik - Brisanje

Numerologija - Ostali Tekstovi

Pogledajte i ostale super zanimljive rubrike na sajtu